как перевести в код грея

Часть 2. Кодирование переменных. Код Грея

Непосредственно двоичный код, как правило, всё-таки не используется для бинарного представления хромосомы. Это связано с тем, что минимально отличающиеся в вещественном представлении переменные в большинстве случаев имеют большие различия (во многих позициях генов) при их двоичном представлении. Рассмотрим это на примере.

Таблица1

Соответствие значений переменной в десятичном, двоичном
представлениях и представлении в коде Грея

Варианты представления переменной			Значение приспособленности (R)
X	X(2)	X(Г)
0	0000	0000	49
1	0001	0001	36
2	0010	0011	25
3	0011	0010	16
4	0100	0110	9
5	0101	0111	4
6	0110	0101	1
7	0111	0100	0
8	1000	1100	1
9	1001	1101	4
10	1010	1111	9
11	1011	1110	16
12	1100	1010	25
13	1101	1011	36
14	1110	1001	49
15	1111	1000	64

Очевидно, оптимальным решением является x_opt = 7. Таким образом, решая задачу с использованием переменных в десятичном выражении и находясь в точке x = 8, достаточно сделать единственный шаг длиной, равной фактической точности, чтобы достичь оптимального значения. Однако в двоичном выражении всё выглядит наоборот.

Расстояние Хэмминга – количество различающихся битов данных, являющееся мерой близости бинарных значений, в этом случае максимально возможно и равно 4: во всех четырёх позициях двоичных представлений 7 и 8 биты не совпадают. Это означает, что в принципе невозможно, имея значение x₍₂₎ = 1000, получить x₍₂₎ = 0111, применив любой из базовых операторов генетического алгоритма, и лишь при редчайшем стечении обстоятельств это возможно, если применить модифицированный генетический оператор. Следствие этого обстоятельства – резкое снижение эффективности поиска оптимального решения при приближении функции приспособленности к своему наилучшему значению.

Проблему решают переходом от двоичного к бинарному представлению переменных в форме кода Грея. Правила преобразования из двоичного кода в код Грея и обратно просты и основаны на использовании логической функции «Исключающее ИЛИ» (XOR). Данная функция возвращает единицу, если нечётное количество бинарных аргументов также были единицами, в противном случае функция возвращает ноль.

Правило 1.

Для представления двоичного кода в форме кода Грея требуется приписать к двоичной форме слева ноль. Тогда соответствующей формой кода Грея будет последовательность значений функции «Исключающее ИЛИ» для пар: нуля и первого гена исходной двоичной формы, первого и второго генов, второго и третьего и т. д. То есть, например, для случая преобразования двоичной последовательности (a₁, b₁, c₁) в последовательность в форме кода Грея (a₂, b₂, c₂) получим: a₂ = XOR(0, a₁); b₂ = XOR(a₁, b₁); c₂ = XOR(b₁, c₁).

Примеры соответствия бинарного представления в коде Грея (X_(Г)) двоичным и десятичным значениям представлены в табл. 1. Из таблицы видно, что расстояние Хэмминга между представлениями чисел 7 и 8 в коде Грея минимально и равно 1: отличие имеет место лишь в четвёртом разряде.

Правило 2.

Для преобразования из кода Грея в двоичную форму к исходному коду слева приписывается ноль. Тогда результирующей двоичной формой будет последовательность значений функции «Исключающее ИЛИ» для первых двух знаков расширенной последовательности, первых трёх, четырёх и т. д. Например, для преобразования кода Грея (a₁, b₁, c₁) в двоичную последовательность (a₂, b₂, c₂) получим:a₂ = XOR(0, a₁);b₂ = XOR(0, a₁, b₁); c₂ = XOR(0, a₁, b₁, c₁).

При большом количестве оптимизируемых переменных, большой области их допустимых значений и высокой заданной точности длина генотипа получается также очень большой, что затрудняет реализацию и замедляет работу генетического алгоритма. В качестве радикального способа решения данной проблемы предложено логарифмическое кодирование хромосом.

В соответствии с этим способом каждая переменная кодируется последовательностью: a, b, a₁, b₁, …, где a, b – двоичные параметры, позволяющие учесть знаки перед экспонентой и её степени в формуле пересчёта значения переменной из двоичной формы в десятичную:

где φ – десятичное представление степени экспоненты, закодированной последовательностью a₁, b₁, ….

Данный способ кодирования существенным образом уменьшает размер хромосом, однако делает это в ущерб точности поиска оптимального решения, и высока вероятность пропуска глобального оптимума. Минимизировать отрицательный эффект данного ограничения возможно лишь за счёт использования двоичного представления дробной степени φ при экспоненте.

По материалам учебного пособия:
Дударов С. П. Математические основы генетических алгоритмов: учеб. пособие/ С. П. Дударов. – М.: РХТУ им. Д. И. Менделеева, 2012. – 56 с.

Источник

Перевод числа в код Грея и обратно

Целое число

Система счисления

Исходное значение в двоичном исчислении

Из исходного в код Грея(двоичное)

Из кода Грея в исходное(двоичное)

Исходное значение в указанном исчислении

Из исходного в код Грея(заданное исчисление)

Из кода Грея в исходное(заданное исчисление)

Калькулятор позволяет конвертировать заданное число в код Грея, и делать автоматическое обратное преобразование.

Dec Bin Gray
0 0000 0000
1 0001 0001
2 0010 0011
3 0011 0010
4 0100 0110
5 0101 0111
6 0110 0101
7 0111 0100
8 1000 1100
9 1001 1101
10 1010 1111
11 1011 1110
12 1100 1010
13 1101 1011
14 1110 1001
15 1111 1000

Как видите, у соседних чисел представленных кодом Грея, меняется только один, и только один бит.

Где это может применяться? Например в биологии когда цепочку генома можно закодировать кодом Грея, и тогда минимальная мутация в одной позиции, будет означать изменение в одной позиции кода Грея, а значит число в десятичной системе будет отличаться лишь на единицу.

Код Грея, можно создавать только для двоичных представлений числа, в других системах счисления, кодов подобных коду Грея, создать нельзя.

Но! Нам никто не запрещает взять любое целое число в любой системе счисления, перевести в двоичный вид, применить код Грея и вернуть обратно в исходную систему счисления.

Наш калькулятор это и делает. Он выдает результат как в исходной системе счисления, так и в двоичной. На мой взгляд это очень удобно.

Например, взяв нашу десятичную систему счсиления и тогда число 343 в коде Грея выглядит так 508. Одним кликом число 343 перевелось в двоичную, из него получили код Грея и снова перевели в десятичную.

Как преобразовывать числов код Грея и обратно, лучше чем в Википедии не написано. Оттуда же взяты и алгоритмы.

Источник

Код ГРЕЯ в многопозиционных видах модуляций

При многопозиционных видах модуляций (М-ФМн и М-КАМ) выбор положения символа в сигнальном созвездии влияет на вероятность битовой ошибки.

Рассмотрим положение символов в сигнальном созвездии для четверичной фазовой модуляции. Для 4-ФМн каждый символ представляется 2 битами. Назначим каждому символу по часовой стрелке комбинацию бит в обычной двоичной системе счисления: <00; 01; 10; 11>.

При воздействии шумов могут возникать ошибки, которые появляются в результате того, что был принят не тот символ, который передавался. Вероятность перепутать один символ с другим (т.е. допустить ошибку при приёме) тем больше, чем ближе символы на созвездии находятся друг к другу.

Пример кодирования двоичного кода

Рассмотрим пример по рисунку выше. Пусть был передан символ S0, который кодирован битами <00>. Из-за воздействия шумов наиболее частой ошибкой будет прием символа S1 или S3, т.к. они расположены ближе, чем символ S2. Ошибочный прием символа S2 также будет, но такие ошибки будут происходить реже.

Если возникла ошибка, при которой был принят символ S1 <01>вместо S0 <00>, то будет потерян всего 1 бит информации, т.к. символ S1 отличается от символа S2 на один бит. Однако если возникла ошибка, при которой был принят символ S3 <11>, то будет потеряно уже 2 бита информации.

Возникает вопрос, можно ли символам назначить такие комбинации бит, чтобы любые два соседних символа отличались не более чем на один бит. Ответ на этот вопрос положительный – нужно воспользоваться кодом Грея.

Код Грея определение

В таблице ниже представлен код Грея для 2-х и 3-х бит.

Код Грея образуется путем перестановки некоторых кодовых комбинаций таким образом, что любые две соседние кодовые комбинации отличаются друг от друга на один бит.

Если символы 4-ФМн закодировать кодом Грея, т.е. символам S0 S1 S2 S3 назначить комбинацию бит <00; 01; 10; 11>соответственно, то любые два соседних символа будут отличаться друг от друга не более чем на один бит. В этом случае, если произойдет любая ошибка, где будут перепутаны два соседних символа, будет потерян только один бит информации.

Код Грея применим в том случае, когда у каждого символа в созвездии только два соседа, т.е. близлежащих символов. Это случай четверичной и восьмеричной фазовой манипуляции.

Если рассматривать созвездие амплитудно-фазовых модуляций, в том числе КАМ, то видно, что у каждого символа более двух соседей. В этом случае нельзя придумать такой код, при котором все близлежащие символы отличались бы только на один бит. Но и в этом случае играет большую роль, каким символам, какие кодовые комбинации назначаются. Те символы, которые расположены ближе всего друг к другу, должны отличаться на минимальное количество бит, в идеальном случае на один.

Если невозможно сделать так, чтобы все соседи отличались на один бит, тогда допускается отличие на два бита, и т.д. Чем дальше символы в созвездии располагаются друг от друга, тем реже возникает ошибка, при которой эти символы будут перепутаны, следовательно, тем на большее количество бит они могут отличаться.

Задача назначения битовых комбинаций каждому символу в созвездии сводится к минимизации среднего количества битовых ошибок при фиксированном отношении сигнал/шум.

Источник

Коды Грея

Код назван в честь Фрэнка Грея, который в 1947-ом году получил патент на «отражённый двоичный код».

Содержание

Алгоритм построения [ править ]

Существует несколько видов кода Грея, самый простой из них — так называемый зеркальный двоичный код Грея. Строится он так:

Псевдокод [ править ]

Доказательство правильности работы алгоритма [ править ]

Таким образом, этот код — код Грея. Индукционное предположение доказано, алгоритм работает верно.

Существует ещё несколько видов кода Грея — сбалансированный код Грея, код Баркера-Грея, одноколейный код Грея. [1] Кроме того, коды Грея используются для упорядочения перестановок.

Явная формула для получения зеркального двоичного кода Грея [ править ]

Для кода длиной [math]1[/math] бит утверждение проверяется непосредственно.

Для любого [math]x \lt 2^n[/math] выполняется [math]\enspace L_x = 0M_x[/math] и, по условию, равно

[math]L_x = 0(x_x_ \dots x_ <0>\oplus 0x_x_ \dots x_<1>)[/math] раскрыв скобки, получим новое выражение [math]L_x[/math] :

[math]= 0x_x_ \dots x_ <0>\oplus 00x_x_ \dots x_<1>[/math] что равно (второе слагаемое равно первому, побитово сдвинутого вправо.)

[math]= x \oplus (\lfloor x / 2 \rfloor)[/math]

[math]L_x = 1(\overline x_ \dots x_<0>> \oplus 0 \overline x_ \dots x_<1>>)[/math] что по свойству xor ( [math]\neg x \oplus \neg y = x \oplus y[/math] ) равно

[math]= 1(\overline >x_ \dots x_ <0>\oplus 0x_x_ \dots x_<1>)[/math] или (все по тому же свойству)

[math]= 1(x_x_ \dots x_ <0>\oplus 1x_x_ \dots x_<1>)[/math] раскрыв скобки, получим

[math]= 1x_x_ \dots x_ <0>\oplus 01x_x_ \dots x_<1>[/math] откуда получаем, зная из условия, что старший разряд [math]L_x[/math] равен [math]1[/math]

[math]= x_x_x_ \dots x_ <0>\oplus 0x_x_x_ \dots x_<1>[/math] что, аналогично первому пункту, равно

[math]= x \oplus (\lfloor x / 2 \rfloor)[/math]

Таким образом, шаг индукции доказан, следовательно, теорема верна. [math]\triangleleft[/math]

Сбалансированный код Грея [ править ]

Несмотря на то, что зеркальный двоичный код Грея полезен во многих случаях, он не является оптимальным в некоторых ситуациях из-за отсутствия «однородности». В сбалансированном коде Грея, количество изменений в различных координатных позициях сделаны максимально приближенными настолько, насколько это возможно.

Коды Грея также могут быть экспоненциально сбалансироваными, если все их отсчеты переходов являются смежными степеням двойки, и такие коды существуют для каждой степени двойки.

Однодорожечный код Грея [ править ]

Еще один вид кода Грея — это однодорожечный код Грея, разработанный Спеддингом и уточнен Хильтгеном, Патерсоном и Брандестини.

Чтобы снизить уровнень шума различных контактов не переключаясь в тот же момент времени, один датчик предпочтительно устанавливает дорожки так, что выход данных от контактов находится в коде Грея. Чтобы получить высокую угловую точность, нужно много контактов; для достижения точности хотя бы в [math]1[/math] градус нужно, по крайней мере, [math]360[/math] различных позиций на оборот, который требует минимум [math]9[/math] бит данных, и тем самым такое же количество контактов.

Не путать с цепными кодами, получаемых циклическим сдвигом.

Применение [ править ]

Фрэнк Грей изобрел метод для преобразования аналоговых сигналов в отраженные двоичные кодовые группы с использованием аппарата на основе вакуумной трубки. Способ и устройство были запатентованы в 1953 году, а код получил название код Грея. «PCM трубка» — аппарат, запатентованный Греем, был сделан Раймондом У. Сирсом из (англ.) Bell Labs, работая с Греем и Уильямом М. Гудоллом.

Таким образом, высока вероятность того, что при кодировании с помощью кода Грея в случае возникновения ошибки ошибочным будет только один из [math]k = \log_2 M[/math] переданных битов.)

Задача о Ханойских башнях [ править ]

Задача:

Даны три стержня, на один из которых нанизаны восемь колец, причем кольца отличаются размером и лежат меньшее на большем. Задача состоит в том, чтобы перенести пирамиду из восьми колец за наименьшее число ходов на другой стержень. За один раз разрешается переносить только одно кольцо, причём нельзя класть большее кольцо на меньшее.

Источник

Как перевести в код грея

Код Грея — система счисления, в которой два соседних значения различаются только в одном разряде. Наиболее часто на практике применяется рефлексивныйдвоичный код Грея, хотя в общем случае существует бесконечное множество кодов Грея для систем счисления с любым основанием. В большинстве случаев, под термином «код Грея» понимают именно рефлексивный бинарный код Грея.

Изначально предназначался для защиты от ложного срабатывания электромеханических переключателей. Сегодня коды Грея широко используются для упрощения выявления и исправления ошибок в системах связи, а также в формировании сигналов обратной связи в системах управления.

Содержание

[править] Название

Название рефлексный (отражённый) двоичный код происходит от факта, что вторая половина значений в коде Грея эквивалентна первой половине, только в обратном порядке, за исключением старшего бита, который просто инвертируется. Если же разделить каждую половину ещё раз пополам, свойство будет сохраняться для каждой из половин половины и т. д.

Код получил имя исследователя лабораторий Bell Labs Фрэнка Грея. Он запатентовал и использовал этот код в своей импульсной системе связи (патент № 2632058).

[править] Применения

Использование кодов Грея основано прежде всего на том, что он минимизирует эффект ошибок при преобразовании аналоговых сигналов в цифровые (например, во многих видах датчиков).

Коды Грея часто используются в датчиках-энкодерах. Их использование удобно тем, что два соседних значения шкалы сигнала отличаются только в одном разряде. Также они используются для кодирования номера дорожек в жёстких дисках.

Широко применяются коды Грея и в теории генетических алгоритмов [1] для кодирования генетических признаков, представленных целыми числами.

[править] Алгоритмы преобразования

[править] Преобразование двоичного кода в код Грея

Коды Грея легко получаются из двоичных чисел путём побитовой операции «Исключающее ИЛИ» с тем же числом, сдвинутым вправо на один бит. Следовательно, i-й бит кода Грея G i выражается через биты двоичного кода B i следующим образом:

где – операция «исключающее ИЛИ»; биты нумеруются справа налево, начиная с младшего.

Ниже приведён алгоритм преобразования из двоичной системы счисления в код Грея, записанный на языке C:

Однако, необходимо помнить, что данный алгоритм будет работать правильно, если компилятор реализует циклический логический сдвиг (стандарт языка C не уточняет тип сдвига). Тот же самый алгоритм, записанный на языке Паскаль:

Пример: преобразовать двоичное число 10110 в код Грея.

[править] Преобразование кода Грея в двоичный код

Обратный алгоритм – преобразование кода Грея в двоичный код – можно выразить рекуррентной формулой

причём преобразование осуществляется побитно, начиная со старших разрядов, и значение , используемое в формуле, вычисляется на предыдущем шаге алгоритма. Действительно, если подставить в эту формулу вышеприведённое выражение для i-го бита кода Грея, получим

Однако приведённый алгоритм, связанный с манипуляцией отдельными битами, неудобен для программной реализации, поэтому на практике используют видоизменённый алгоритм:

где N – число битов в коде Грея (для увеличения быстродействия алгоритма в качестве N можно взять номер старшего ненулевого бита кода Грея); знак означает суммирование при помощи операции «исключающее ИЛИ», то есть

Действительно, подставив в формулу выражение для i-го бита кода Грея, получим

Здесь предполагается, что бит, выходящий за рамки разрядной сетки (), равен нулю.

Ниже приведена функция на языке С, реализующая данный алгоритм. Она осуществляет последовательный сдвиг вправо и суммирование исходного двоичного числа, до тех пор, пока очередной сдвиг не обнулит слагаемое.

Тот же самый алгоритм, записанный на языке Паскаль:

Пример: преобразовать код Грея 11101 в двоичный код.

Быстрое преобразование 8/16/24/32-разрядного значения кода Грея в двоичный код на языке BlitzBasic:

Простой способ преобразования двоичного числа в код Грея выполняется по правилу: старший разряд записывается без изменения, каждый следующий символ кода Грея нужно инвертировать, если в натуральном коде перед этим была получена «1», и оставить без изменения, если в натуральном коде был получен «0».

[править] Генерация кодов Грея

Код Грея для n бит может быть рекурсивно построен на основе кода для n–1 бит путём переворачивания списка бит (то есть записыванием кодов в обратном порядке), конкатенации исходного и перевёрнутого списков, дописывания нулей в начало каждого кода в исходном списке и единиц — в начало кодов в перевёрнутом списке. Так, для генерации списка для n = 3 бит на основании кодов для двух бит необходимо выполнить следующие шаги:

Коды для n = 2 бит:	00, 01, 11, 10
Перевёрнутый список кодов:	10, 11, 01, 00
Объединённый список:	00, 01, 11, 10	10, 11, 01, 00
К начальному списку дописаны нули:	000, 001, 011, 010	10, 11, 01, 00
К перевёрнутому списку дописаны единицы:	000, 001, 011, 010	110, 111, 101, 100

Ниже представлен один из алгоритмов создания последовательности кода Грея заданной глубины, записанный на языке Perl:

Рекурсивная функция построение кода Грея на языке C:

Быстрое преобразование 8/16/24/32-разрядного бинарного кода в код Грея на языке BlitzBasic:

Источник